浅谈数列及其简单应用

张冬月

（浙江交通技师学院，浙江  金华  321015）

摘  要：介绍了数列的基础知识以及数列通项公式的寻求途径，并针对数列在三角形中的应用，提出解决方案，同时介绍数列在经济生活中的应用，为中学数学中的数列研究提供理论依据。

关键词：数列；等比；等差

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、基础知识

（一）基本概念

1、数列： 按一定次序排列的一列数叫数列。数列的一般形式可以写成a₁，a₂，a₃…a_n…简记作{ a_n }；2、等差数列 ：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示公差；3、等比数列： 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示公比；4、递推数列： 对于数列{ a_n }，若任意相邻若干项都满足某一关系式，那么这个关系式叫做数列{ a_n }的递推式，由递推确定的数列{ a_n }叫做递推数列。

（二）基本公式

1、等差数列

通项公式：a_n=a₁+（n－1）d，前几项的和公式： S_n= =

2、等比数列 

通项公式：a_{n= ，}前n项的和的公式：

拆项和求和公式：

①  （d≠0）

②

二、怎样寻求数列的通项公式

在一个数列中，与任意自然数所对应的一项a_n的值，叫做数列的通项。如果一个数列的第n项（即a_n）与项数n间的关系可以用解析式表达，那么这个表达式叫做数列的通项公式。很明显，一个数列的通项公式就是自变量是自然数的一个函数的解析表达式，就是a_n=f（n）。因此，数列的通项与通项公式是有区别的，一个是函数的值，一个是函数式。需要注意的是并不是所有的数列都有通项公式，也就是说并不是所有的数列都可用解析式来表达。例如 的精确到 的近似值3.1，3.14，3.142，…所组成的数列，就没有通项公式，只能根据某种运算法则求出数列的各项的值。

对于一个数列，要解决它的有关问题，关键在于根据数列的变化规律，写出它的通项公式。那么怎样才能求得数列的通项公式呢？一般是已知数列的前几项，写出它的通项公式，一般的是没有法则可遵循的，但可以通过观察、分析的方法，通过与一些已知通项公式的数列作比较的方法来寻找关系，从而求出一些数列的通项公式来。若没有指出它的变化规律时，与它对应的数列的通项公式并不是唯一的，只是要求写出一个规律比较明显的最简单的通项公式而已。数学归纳法在等差、等比数列中是一种十分重要的证明方法，它常用来先猜想数列通项，然后给予证明。但难点、重点是给出递推式，求通项。

例2.1：数列{a_n} 满足a₁=0， 的递推式，试求通项。

解：在递推式的两边同除以（－2）ⁿ⁺¹，得：

设 ，得b₁=0，

       由上式得：

             ∴  

一般地说，数列具有a_n+1=pa_n+f（n）（常数p）型的递推式时，则在递推式两边同除以pⁿ⁺¹得

用辅助数列法设 ，求出数列 的通项，然后再导出数列 的 通项。

三、特殊数列的求和问题

特殊数列求和是一个比较困难的问题，主要是没有像等差数列和等比数列那样有求和公式，但并不是没有规律可循的，只要认真去探讨求其特点和结构，就能找到解题的途径。通常采用的有下面几种方法：

1、        找出数列的一个简单的通项公式，再把通项公式分裂成若干项，使这些项成等差数列或等比数列，从而可以使用公式解决问题；

2、        把数列各项拆开，使其有正项又有负项，这样就能使一部分项抵消，剩余的若干项就便于计算了；

3、        把整个数列（即所有项）乘以某个代数式或除以某个代数式，得到新数列后，再进行拆项或消项处理，然后使用公式解决。或者把原数列与新数列进行加、减后再求和。

总之，要善于改变原特殊数列的结构，使其能利用等差数列、等比数列的公式来解决问题。

例3.1： 求数列3²，5²，9²，17²，33²，……的前n项的和。

解：观察数列前5项：

…………………………

得通项为：

       =

=

即 

         答：此数列前n项和为 。

四、数列的简单应用

数列在生活中的应用，就是运用数列知识和方法解决实际问题的能力。特别是等比等差数列，在近几年高考中加大了考查的力度。在市场经济条件下的有关增长率、利润、利率等问题是一类主要的应用问题。

例5.1：某企业年初拥有资全100万元，假定经过生产经营每年资全增长率为50℅，但每年年底要扣除消费资金X万元，余下资余投入再生产。

（1） 试用x、n表示经过n年后的资全（扣除消费资金后）．

（2） 若经过6年后资全至少有250万元（扣除消费资金后），求x的最大值（精确到1万元）。

  解：（1）设经过n年后资全为 万元．则

…………………………………………

（2）

即

∴ ，取 ，即x的最大值为42万元。

答：经过n年后资全为 万元，若经过6年后资全至少有250万元（扣除消费资金后），x的最大值为42万元

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切的联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫。应该说，将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在各知识沟通方面发挥了重要作用。

参考文献：

[1]李开成，潘福田．历届高考数学试题分析与解法研究[m]，黑龙江教育出版社，1987年版

[2]数学典型例题分析及习题[m]，中国农业机械出版社，1982年版

[3]黄健生,俞绍康,姚楷等．最新 高中数学 方法·思维·训练[m]，光明日报出版社，1992年版