引言
学科之间需要交融。理由很多，但有两条很基本：（a）学科分界是主观意志的产物。确切地说，学科的划分是人为的操作。之所以要划分不同的学科，不是因为大自然有这样的需求，而是因为人们认识自然的能力是有限的。从这个意义上讲，用“楚汉河界”分割学科范围，实属“多此一举”。（b）科学发展过程中，再三出现如下情形：问题是在A学科中提出的，但解决问题的方案却在B学科中。
因此，没有交融，就没有突破。学科交融，是研究者做出独创性工作的最佳路径之一。
怎样实现学科的交融？似乎没有标准答案。作者在科学研究的实践中，窥视到点滴奥妙：艺术，似乎是关联不同学科的最佳媒介之一！
当然，这一观点并不新颖。历史上，“科学与艺术之关联”，就是经久不衰的话题。我们可以将这个话题拓展成如下基本判断：
学科与艺术有关联，B学科与艺术也有关联，那么，A学科与B学科之间，也许存在关联。
数学家的价值判断标准中，美学的标准占据很大比重。数学家们时常追问：什么样的数学是好的数学？答案极为简单，只有三个字：美，深刻。美，即形式上必须漂亮；深刻，即思想上必须深邃。
那么，美和深刻的数学具有什么样的特征？答案见仁见智，但有两条，极具启发性：（a）在看似没有任何关联的现象之间，发现了出人预料的相关性。（b）在看似有必然联系的现象之间，揭示了出人预料的无关性。注意到，相关性和无关性都很重要，前提必须是“出人预料”。
出人预料的相关性，出人预料的无关性，主要体现了关联性与深刻性。那么，美与深刻之间，有无关联？数学家们没有直说，但美与深刻总是形影不离，却是不争的事实。我们的研究，确认了这样的事实。
东西方语言学中美妙的对称性构造
年10月2日，年、月、日构成了数字“2019102”。这个数字正着读反着读，结果相同。这是一个“回文数”。
中外语言中，都有一些美妙的语言结构[1, 2]，其中就有“回文句”。回文句在英语中被称为“Palindrome”。在本文中，我们仅仅罗列几个以英文字母为单位的回文句。例如，人们构造了这样有趣张 英
杨 帆
殷雅俊
（1.清华大学语言教学中心；2.清华大学校友会；清华大学航空航天学院 北京市 100084）
摘 要：近年来，“学科之间应该相互交融”的观点成为人们的共识。然而，怎样交融？似乎没有公认的答案，但有一个可能的答案：以美学为媒介，寻求不同学科相互交融的契合点。这个答案的合理性，可以通过一个案列给与解释：一朵美丽的分形雪花。可以证实，诸多学科都与分形雪花相关联。反过来，以分形雪花为桥梁，可以看到诸多学科之间出人预料的相互联系。
关键词：分形雪花，学科交融，相互关联
基金项目：本研究得到国家自然科学基金项目（12050001，11672150）和清华大学研究生教育教学改革项目（201905J030）的支持。通讯作者：殷雅俊，北京清华大学航天航空学院。
的句子：
有一句英文回文佳句来源于美国《时代》杂志的一封读者来信，令人影响深刻：
还有一个名句：Madam, I’
这是亚当在伊甸园遇到夏娃时说的一句问候语。传说中，拿破仑被流放到Elba岛时说过一句话：
（在我看到Elba岛之前，我曾所
向无敌）。
英文中还有一个著名的回文句：
这里“A man” 指的是美国前总统罗斯福。在他任职期间，美国取得了巴拿马运河的开凿权和控制权。
这几个句子，不论是正着读（从左往右读），还是反着读（从右往左读），结果都一样。
与英语类似，汉语中有回文对联[3]。例如：
雨滋春树碧连天，天连碧树春滋雨。
人中柳如是，是如柳中人。
人过大佛寺，寺佛大过人。
艳艳红花随落雨，雨落随花红艳艳。
除了回文对联，还有回文诗。例如梁·萧纲的“咏雪”：
盐飞乱蝶舞，花落飘粉奁。
颠倒过来，就是：
奁粉飘落花，舞蝶乱飞盐。
正着看，倒着看，含义不变，描写的都是“雪”，但奇妙的是，却没有一个字提到“雪”。
清代的黄伯权创作过一首《茶壶回文诗》：
落雪飞芳树，幽红雨淡霞
薄月迷香雾，流风舞艳花
这首诗可以回文为：
花艳舞风流，雾香迷月薄
霞淡雨红幽，树芳飞雪落
英语和汉语，差异很大，但总能从相互借鉴中，发现共性，得到启发和教益。调换顺序，结果不变，这样的现象，在科学中被概括为“顺序无关性”或“随顺序变化的不变性”。无关性或不变性，都等价于对称性。
语言学中的上述不变性，都体现为周期性。而这种周期性，可被理解为Euclid空间中的对称性。
除了Euclid空间中的对称性，自然界中广泛存在分形空间中的对称性，称之为自相似变换下的不变性或标度不变性。
上面的两首回文诗都涉及到“雪”。这不是巧合，而是有意为之。标题中的关键词“分形雪花”，正是一朵人造雪花。当然，这朵人造雪花不是Euclid空间中的雪花，而是分形空间中的雪花，一朵具有标度不变性的美丽雪花。
画家笔下的浪花与分形
自然界中，大量的物质结构，都具有分形形貌。
日本浮世绘画家中，葛氏北斋的作品——《神奈川冲浪里》
（见图1），令人瞩目：驻足于神奈川的港湾，极目望去，可见富士山。海面上，狂风卷起巨浪，扬起高高的浪花。张牙舞爪的浪花，几乎吞噬了渔船。滔天巨浪之下，飘摇扁舟之上，渔民们奋力与风浪搏斗，以便逃出险境，可谓惊心动魄。
图1 葛氏北斋的作品《神奈川冲浪里》
历史上，荷兰伟大画家凡高深受日本浮世绘的影响。他被北斋先生的画作深深地吸引，他将画面上的浪花形象地称作“鹰爪浪”。
我们喜欢北斋先生的画作，却是因为画面中的浪花，构成了一幅美丽的分形图案：大浪花中套着小浪花，小浪花中套着更小的浪花，更小的浪花中套着极小的浪花……，层层嵌套的浪花，保持着自相似的特征。而无穷嵌套的自相似结构，就构成了几何中的分形。因此，北斋先生的浪花，可以被称为“分形浪花”。
可以肯定的是，北斋先生不懂科学。在他的时代，更不会有分形。然而，他对自然有极为敏锐的洞察力和感悟力，将生活的感受、自然的严苛、艺术的感染力与科学的庄严，融为了一体，最终“开出”了分形浪花。
植物表面上的分形艺术
在生物结构中，我们能够看到大自然的巧夺天工。植物中，最能将科学和艺术融为一体的，是花椰菜（见图2）。花椰菜的表面轮廓呈宝塔状。表面上，可见一条又一条从短到长的螺旋线；螺旋线上，可见一棵又一棵从小到大的花椰菜。任意一棵小花椰菜上，仍然可见一条又一条从短到长的螺旋线；任意一条螺旋线上，仍然可见一棵又一棵从小到大的花椰菜……。无穷多条螺旋线，无穷多朵花椰菜，而无穷无尽的螺旋线具有相似性，无穷无尽的花椰菜也具有相似性。于是，花椰菜的表面结构，构成了美轮美奂的分形空间。
图2 花椰菜表面上的分形艺术
从分形浪花到分形雪花
《神奈川冲浪里》展现的是艺术中的分形。我们的研究，显示出了分形中的艺术。在研究分形生长运动学的过程中，我们构造了一系列漂亮的分形图案。其中，与北斋先生的“分形浪花”对应的，是“分形雪花”。
我们最早构造的分形雪花[4]极为简洁（见图3）：做半径为r0的大圆，将圆周六等分，以等分点为圆心，以r1为半径，做六个小圆，要求小圆半径r1与大圆半径r0之比为1/3，即相似比取为。这样，就生成了第一级结构。如法炮制，可生成第二级结构，第三级结构，第四级结构，……。我们惊奇地发现：每一级结构上，相邻两个小圆圈之间的最小间隙都相等。随着结构级数的增加，最小间隙不断减小。当结构级数趋于无穷时，所有的最小间隙同时趋于0。注意到，当结构级数趋于无穷时，无穷多小圆圈的半径同时趋于0，即无穷多小圆圈同时收敛成点。而所有的最小间隙同时趋于，则意味着相邻的点同时拓扑连通，形成了极为复杂的封闭曲线。
奇妙的是，这条复杂的封闭曲线竟然处处连续但处处不光滑！
更奇妙的是，随着曲线的成形，一朵美丽的雪花跃然纸上。但这不是一朵普通的雪花，而是一朵美丽的分形雪花。分形雪花的内部，拓扑连通着6朵小分形雪花；6朵小分形雪花的内部，拓扑连通着×6朵更小的分形雪花，……。无穷多的嵌套，无穷多朵自相似的分形雪花！可以肯定，这是世界上最漂亮、也是最复杂的雪花！
第一级结构 第二级结构 第三级结构 第四级结构图3 分形雪花与增材制造
我们说，这朵美轮美奂的分形雪花，美的深刻，美的惊心动魄。为显示出其价值，我们回顾一下经典的Koch雪花[5]（见图4）。
教科书中，有一条美丽的封闭曲线，被称为Koch曲线。这条曲线围成了一朵美丽的雪花，被称为Koch雪花。Koch曲线只有一条，Koch雪花只有一朵。然而，分形雪花中的Koch曲线有无穷多条，分形雪花中的Koch雪花有无穷多朵！分形雪花的“分量”，由此可见一斑。从增材制造到减材制造
现代工业中，传统的机械加工方式有车、铣、刨、磨，等。这样的制造方式，可被称为“减材制造”。近年来，随着3D打印技术的兴起，“增材制造”大行其道。显然，图3中的分形雪花，就是增材制造的产物。我们的问题是，能否反其道而行之，减材制造分形雪花？
答案是肯定的。图5展示了制造过程：取正六边形板，中心凿去一个正六角形，边缘凿去六个正三角形，这样，可得到六个小正六边形，……。无穷多次“凿去”操作之后，“残留”的结构，竟然是一朵美丽的分形雪花！
也就是说，分形雪花，既可以是增材制造的产物，也可以是减材制造的产物。完全相反的制造理念，竟然殊途同归，实在妙不可言。
图5 分形雪花与减材制造
从分形雪花到分形格栅点阵结构
近年来，“轻质格栅点阵结构”吸引了众多研究者。其中的关键词是“格栅”。然而，我们注意到，常规的格栅都是Euclid空间中的等周期结构。我们的问题是，就格栅设计而言，能否打破空间形式，走向分形空间形式？
答案是肯定的。图6展示了设计过程：取两个全等的正三角形刚架，六分对称放置，焊接，构成一个正六角形刚架，得到第一级结构。注意到，周向出现六个全等的小正三角形。再取六个全等的小正三角形，六分对称放置，焊接，构成六个小正六角形刚架，得到第二级结构。……。无穷多次操作之后，得到一朵美丽的分形雪花状格栅点阵结构！由此，诞生了一个全新的概念——分形格栅点阵结构。
第一级结构 第二级结构 第三级结构 第四级结构图6 分形雪花与分形格栅点阵结构
可以肯定，分形格栅点整结构的性质，与Euclid周期格栅点阵结构的性质，会有非常本质的不同。读者可以尝试一下：图7中的格栅点阵，只相当于图6中的第一级结构。请以图7为基础，构造出更高级的结构，然后研究其声子特性、电磁特性、力学特性，……，可以预料的是：你一定会得到出人预料的、独创性的研究结果！
图7 极简的轻质分形格栅点阵结构
“持续进化”的分形雪花
追求更高的对称性，是科学探索者永恒的追求。上述分形雪花的对称性虽然令人满意，但似乎不够匀称——中心最大的空白雪花，“占地”太大了。
如何“填补空白”？答案极其简单——中心再添一朵！于是，“六六之顺”变成了“七七之巧”，一朵更匀称、更漂亮的分形雪花[6]（见图8），诞生了。从“六顺”到“七巧”，变化的是分形雪花的形，不变的是分形雪花的神，
令人称奇的是，“七巧”型的分形雪花，在不同学科之间，架起了沟通的桥梁！我们从没有想过分形雪花会有什么用途，但出人预料的是，它竟然出现在完全不同的学科中！
图8 分形雪花的进化
从分形雪花到胶体溶液
分形雪花在化学中找到了用途。胶体溶液中，三相有机长链分子杂乱无章地分布。但在临界温度下，无序分布的长链分子突然通过动力学自组装，生成了一个个小正六边形花样；七个正六边形手拉手，排列成更大的正六边形花样……，无限铺展下去，我们看到了美丽的分形雪花状花样（见图9）。
我们画出一朵又一朵分形雪花时，颇有“玩小孩过家家”之感。但当我们看到分形雪花“飘进”有机化学溶液时，突然意识到，大自然并没有与我们“闹着玩儿”，因此，绝对不能把分形雪花当“玩具”，正确的态度应该是：严肃对待，深入探索……图9 胶体溶液中的分形雪花
从分形雪花到高聚物合金颗粒
分形雪花在材料科学中找到了用途。高聚物合金颗粒的表面上（见图10），纳米颗粒逐级组装，分形雪花状形貌，在电镜下清晰可见。胶体溶液是流体，而合金颗粒是固体。二者物态不同，相互作用机制也不同，所属学科不同，非线性动力学过程不同。虽然有如此之多的“不同”，但自组装的拓扑结构和几何花样，却完全相同——都毫无例外地呈现出分形雪花状。
读者也许会问：自组装的非线性动力学演化，为什么如此青睐分形雪花？答案见仁见智。但如下解释大体靠谱：任何封闭系统的自发演化，总是走向低能量态。低能量态，也是稳定态。而分形雪花，具有六分对称性，可由正三角形构造，而在所有的正多边形中，正三角形无疑是稳定性最佳的结构。
从分形雪花到脑起搏器
最出人预料的是，分形雪花在生物医学工程中竟然有用途。
同事研究脑起搏器。这是治疗癫痫、美尼尔氏综合症等疾病的重要仪器。它包含两大基本组成部分：植入脑内的针状电极和埋入锁骨凹陷内的盒状电池。常规电池受寿命限制，电能耗尽，便需更换。为减轻患者痛苦，避免反复更换，采用了内置式无线充电电池。
无线充电的原理是电磁感应。而电磁感应会在电池的金属外壳内诱发涡流。涡流放热升温，会烫伤患者。于是，如何控制电池发热成为难题。而分形雪花为解决难题提供了方案：在金属外壳上刻出分形雪花状缝隙，将大片连续金属壳分割成细碎的金属片（见图11）。这样，电磁感应的涡流只能出现在狭小的碎片内，进而大幅度地降低了热效应[9]。很显然，这是科学与技术有机融合的美妙案例。
图11 电池外壳上的分形雪花
五彩斑斓的分形雪花与年轻艺术家的想象力
北斋先生的分形浪花是艺术品。我们也尝试将分形雪花加工成艺术品。作者杨帆在博士生期间巧手描绘了五彩缤纷的分形雪花[10]（见图12）。于是，科学作品被赋予了艺术的气息。如果说，科学与技术的距离不遥远，那么，也可以说，科学与艺术的距离也不遥远。
彩色的分形雪花激发了年轻艺术家的想象力。中央美术学院的两位研究生，立即将彩色的分形雪花转化成了艺术品：女生设计了彩色的分形雪花状餐桌，男生设计了分形雪花状镜子阵列。
分形雪花状餐桌的构思如下：大大的圆形玻璃桌面，放置在金属支架上。支架与桌面的连接面，被设计成了分形雪花状。连接面上，按照彩色分形雪花的颜色分布，布满了密密麻麻的彩色小灯泡。晚餐时，桌面上摆着美味佳肴，桌面下闪烁着五彩雪花。美食与艺术，融为一体。
分形雪花状镜子阵列是男生平面设计的毕业作品：数百块矩形双面镜垂直于地板放置，摆设成分形雪花的花样。作者惊奇发现：一旦进入这个镜子阵列，就再也出不来了：无论你向哪个方向移动，都有无穷多个“你”迎面扑来，似乎进入了一个奇幻般的世界。这样的作品，摆在公共场所，一定会吸引观众的目光，引起观众的好奇、惊叹、共鸣和沉思。
复合材料专家们长期关注纤维增强复合材料的研发。纤维增强复合材料有一难以逾越的瓶颈，即纤维/基体粘结面开裂导致纤维“脱粘”。复合材料专家们长期受到脱粘现象困扰，如果他们看到彩色分形雪花，必定深受启发，瞬间茅塞顿开——将圆截面纤维换成分形雪花状截面的纤维（图13）。这样的分形纤维，与基体的粘结面是分形空间，故即使局部脱粘开裂，裂纹也不会扩展。也就是说，借助几何的方法，而不是物理化学的方法，竟然可以一劳永逸地突破技术瓶颈。
看来，艺术与技术的距离，也是相当近的。
图12 彩色的分形雪花
图13 分形雪花状纤维增强的复合材料
分形雪花的无用之用
我们构造分形雪花，并非是因为其有用，也不是为了解决什么有用的问题，而是被其惊人的美所吸引。出人预料的是，一朵根本没有用途的分形雪花，却有横贯诸多学科的用途！由此联想到道家名言：无用之用，方为大用。
我们的教育教学需要不断改进。长期以来，我们的教学过分注重讲授有用的东西。作者的建议是，我们的教学，不仅要关注有用的东西，也应适当关注一些看似无用的东西。正是这些看似无用的东西，成为了学科之间交融的粘合剂和桥梁。
参考文献
曾庆茂，徐昌和，英语——修辞鉴赏与写作[M]，同济大学出版社，吕煦，实用英语修辞[M]，清华大学出版社，
百度百科
英]肯尼思.法尔科内 著，曾文曲、刘世耀、戴连贵、高占阳 译. 分形几何——数学基础及其应用[M]. 东北大学出版社，李青峰. 金属层状介质屏蔽环境下的电磁耦合能量传输研究[博士学位论文]. 北京：清华大学航天航空学院，
殷雅俊、杨帆. 超级分形雪花与埃舍尔的画作. 《水木清华》
