浅谈提高三视图解题能力的几个要素

蔡杏舒
（惠东县平山中学，广东  惠州  516300）

摘  要：利用三视图培养学生的空间想象能力，从而形成对几何体的整体认识，这对立体几何的学习具有很大的促进作用。在近几年高考中都有三视图的相关题目,为此提高学生三视图解题能力具有十分重要的意义。
关键词：三视图；几何体； 解题能力
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

随着新课程改革的不断推广和深化，利用三视图培养学生的空间想象能力，从而形成对几何体的整体认识，在立体几何的学习中起到了很大的作用。研究高考立体几何考查的三视图试题可以发现，大部分是已知部分（或全部）三视图，考查几何体的表面积、体积计算问题及有关元素的平行、垂直关系。而学生在三视图解题过程中,常常因观察能力、空间想象能力，逻辑思维能力和计算推理论证能力等因素与正确的解题方法失之交臂。在立体几何教学过程中，笔者对与三视图相关问题进行了探索，发现要提高解决三视图解题能力，应该正确把握概念、对应关系及几何特征等几个要素。
一、掌握三视图的概念
例  某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 和 的线段，则 的最大值为（ ）
A.          B.            C. 4          D.  
分析  题目中提到的几何体，没有给出立体图模型，也没有提供三视图。问题“ 的最大值”中的 、 是几何体中的一条棱分别在侧视图、俯视图上的投影长。若设已知棱为 AB ，利用三视图的概念，以一个长方体为载体，将棱AB看成是长方体的一条体对角线，它在正视图、左视图、俯视图的投影如图中的线段AB’， BA’’，A’B 。
解　如右图所示, 设这条棱为长方体的对角线, 该长方体的长、宽、高分别为 ，  由题意得
 
 
 
要准确快速地完成上题，必须熟悉掌握三视图的定义。选择长方体作为几何体的载体，达到事半功倍的效果。日常教学中，教师应增强学生对空间几何体的三视图的认识，强调对三视图定义的理解，提高数学建模能力．
二、明确三视图与几何体之间的量的对应关系

例  已知几何体的三视图如下，求该几何体的表面积和体积
                                                 

分析   根据三视图很容易判断几何体是四棱锥。学生容易出错的地方是：以为正视图就是四棱锥中的 ，左视图是 。这是空间想象能力还有所欠缺，未能准确理解三视图的表现。事实上，正视图中三角形的的两条腰是四棱锥左右两个侧面的高，底边是四棱锥底面 的长；侧视图中三角形的两条腰是四棱锥前后两个侧面的高，底边是四棱锥底面 的宽。所以在日常教学中，教师应结合教具或多媒体锻炼学生的空间想象能力。
              

三、熟悉常见几何体的几何特征

例  一个几何体的三视图如图，画出该几何体的直观图。

分析   结合三个视图可知，此几何体是三棱锥，且底面是一个直角三角形。要确定这个三棱锥的形状，关键是顶点的位置。根据棱锥的几何特征，顶点是所有棱的交点。观察俯视图可以看到，A 和 P可能是棱锥的顶点的投影 。我们不妨假设A点是棱锥的顶点，把点A向上拉升就可以得到几何体如图1。它的正视图和俯视图是直角三角形，与原题不吻合。如果是点P的话，把点P向上拉升就可以得到几何体如图2，正视图和俯视图都吻合，所以图2是所求几何体的直观图。
教学中，教师要强调学生对各种常见的几何体的几何特征进行深入了解，能够准确地由三视图结合空间几何体的结构特征，进而推断出相应的几何体，再进行体积或表面积运算。

四、能根据三视图推断几何体中的点、线、面的关系
例  一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： ）为（   ）
A.      B.       C.       D. 

分析  由上例可知，该棱锥的立体图如图3。底面 是等腰直角三角形， 是直角。根据三视图中点 P 是三棱锥顶点在底面上的投影，可知
PP’⊥平面ABC垂足为P’。由俯视图所给的量，三棱锥底面中： 即点P’ 为BC中点。这时，在俯视图中， ，即 是等腰三角形，由此可以推断出三棱锥中， 是等腰三角形。理清几何体中的点、线面的关系，所有的问题都迎刃而解了。日常教学中，教师在分析解题过程应重视如何从三视图中获取几何体的点、线、面的相关关系。

解  由三视图得该几何体是一个三棱锥。底面ABC为等腰直角三角形，
角A为直角，P P’⊥平面ABC垂足为P’，且P’为BC中点
由俯视图知AC=AB=6，由正视图知P P’=4，侧面PAC的高为
于是该棱锥的表面积为
                       
      三视图担当起了培养学生空间想象能力的重任,并且三视图是新课程高考的必考内容。而在空间几何体三视图的解题过程中，学生很容易出现一些错误，笔者认为，提高学生三视图解题能力非常必要。

参考文献：
[1]张夏强,邱云.新课程高考“三视图”试题的分析与思考[J]. 中学数学,2008(17).
[2]晏叶江.高考命题的新热点——三视图和直观图[J]. 新课程(中), 2010(10).