例谈勾股定理联手方程

胡迎兰
（高邮市经济开发区树人中学，江苏  扬州  225600）
摘  要：我们都知道，在直角三角形的计算中，如果已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可见效，但如果只知其中的一条边去求另两条边呢？笔者发现，此时那未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，只需设出一个未知数便可以表示出两条未知的边，这时候再用勾股定理，列方程即能解决问题。笔者通过下面的例子来说明勾股定理联手方程在很多情况下是非常给力的。
关键词：勾股定理；联手方程；直角三角形
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、在实际问题中
例1  如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D处出发，一已知它们所经过的路程相同，且BC＝15m，求木杆AB的高度。
分析：本题既然是求直角三角形的边长，毫无疑问要用勾股定理，但因为AC和AB两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通，好在“它们所经过的路程相同”，就可以设AD= x ，再用含x 的代数式表示出AC，最后利用勾股定理就可列出方程。
解：设AD＝x，则AC＝20－x，
由勾股定理，得：(20－x)2＝(x＋5)2＋152
解得：x＝2。
所以木杆高度AB为7米。

例2  一口井直径为1米，一根竹竿垂直伸入井底，竹竿高出井口 米；如图2所示，若把竹竿斜伸入井底，竹竿刚好与井口持平，那么井深多少米？竹竿长为多少米？
分析：本题要抓住“竹竿无论是垂直插入还是斜插长度不变”
这一关系，就能设出井深x米,竹竿长为(x+ )米。
解：设井深x米,则竹竿长为(x+ )米，
列出方程有：(x+ )2＝x2＋1.
解方程得：x= 。答：井深 米，竹竿长为 米。
二、在折叠问题中
例3  如图3，折叠长方形的一边AD，使D点落在边BC上的点F处，折痕为AE，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求CE的长。
解：∵△AFE由△ADE折叠所得，
∴AF＝AD＝BC＝10cm，DE＝FE
又∵AB＝8cm
∴BF＝ ＝6cm
∴CF＝10－6＝4cm
又∵FE＋CE＝DE＋CE＝8
∴设CE＝x，则EF＝8－x
在Rt△CEF中，(8－x)2＝x2＋42
解得：x＝3
所以CE＝3cm
说明：本题有两个难点，一是折叠三角形之间对应边的转化，二是在Rt△CEF中用勾股定理时必须用方程思想，勾股定理联手方程在折叠问题中有广泛的应用。
例4 、如图4，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将边AD沿折痕AE翻折，使D点落在对角线AC上的点F处，求CE的长。
解：∵AB＝6，BC＝8
    ∴AC=10，DC=6,AD=8
    ∵沿折痕AE翻折
∴AF=8
∴CF=2
在△CEF中，设CE= x，则EF=DE=6–x
(6－x)2＋22＝x2
解得：x=
说明：本题有两个关键：一是将BC转化为AD再转化为AF，从而求得CF，二是找到“边EF与CE的和为6”这个关系。
三、在圆的计算中
例5  如图5已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，且CD＝4，DB＝8，求⊙O的半径。
分析：本题要求半径，但在Rt△CDO中，
CD、CO、DO三边里只明确知道CD的长，
若设CO=R，则BO也等于R,那DO就可以
用含R的代数式表示，列方程也就不难了。
解：连接CO,设CO=R,则DO=8-R
在Rt△CDO中,
 (8－R)2＋42＝R2
       解得：R=5                                  
勾股定理是数学中的一个重要定理，方程思想是数学中的一种重要思想，当它们联手后，我们能感受到双剑合璧，出手不凡的效果。所以我们在平时的教学、学习过程中，要注重培养这方面的技能、思想。